Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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4. Espaces euclidiens
DÉFINITION 14.41. - On appelle espace euclidien, tout espace vectoriel réel
de dimension finie, muni d'une forme quadratique définie positive.
On a vu, (théorème 14.8), qu'un tel espace admet des bases orthonormées pour le produit scalaire associé à la forme bilinéaire symétrique.I
Si B = (ei, ... , en) est une telle base orthonormée de E supposé de
dimension n, on a Vi, Vj, dans {1, ... , n}, (ei, ej} = 1 si i = j, 0 sinon.
n
n
Si x = L Xiei et y = L Yiei, alors le produit scalaire vaut
i=i
i=i
n
( n
) 1/2
(x,y} = ~XiYi et la norme de x est llxll = ~xr
Si F est sous-espace vectoriel de E, il est de dimension finie, donc
E = .F EB pl.. et la projection orthogonale sur F existe, (Théorème 14.27).
THÉORÈME 14.42. - Soit F un sous-espace de dimension q de E espace
euclidien de dimension n et {ai, ... , aq} une base orthonormée de F. Si
Ai, ... , Aq sont les matrices colonnes des coordonnées de ai, ... , aq dans
une base orthonormée B de E, la matrice de la projection orthogonale p
q
de E sur F est L A/Ai dans cette base B.
j=l
q
On sait que p(x) = L(x,aj}aj, la base {ai, ... ,aq} de F étant
j=l
orthonormée (conséquence 14.28). On décompose x et les aj dans la base
n
n
orthonormée B en x = L Xiei et aj = L O!ijei. La kième composante
i=i
i=i
q
de p(x) dans la base B sera : Yk ~ L (x, aj }akj ou encore
j=i