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Analyse fonctionnelle
C'est encore :
no
llf - fnoll 2 = 11111 2 - llfnoll 2 = 11111 2 - ~)(!, ek)) 2 ~ ê
k=O
ou:
no
11111 2 -e ~ L::(U,ek)) 2 ~11111 2
k=O
d'où, a fortiori vu l'inégalité de Benel, (14.38), on a :
n
Ve> 0, 3no, ' k=O
OO
14.39. cequiimpliquel'égalitédeBenel, 11111 2 = L((f,ek)) 2 , mais aussi
k=O
le fait que pour la norme préhilbertienne, f est la somme de la série des
(!, ek)ek.
14.40. Quand on a cette situation, on dit que la famille orthonormée des
(ek)kEN est totale dans E : c'est donc une base orthonormée de F sousespace de E partout dense et de dimension dénombrable stricte.
Lien avec l'exemple : grâce au théorème de Stone Weierstrass (Théorème 12.61), on sait que F = {restrictions à [a, b] des fonctions polynômes}
est partout dense, dans E = C 0 ([a, b]) pour la norme de la convergence
uniforme, llflloo = sup{lf(x)I, x E [a,b]}.
Comme
(11111) 2 =lb ! 2 (t)p(t)dt ~lb llfll~p(t)dt ~ 11111~ lb p(t)dt
en posant a = lb p(t)dt, a > 0 puisque p est positive continue non
nulle, on a llfll ~ JCillflloo, donc l'existence d'une suite d'éléments de
F, convergeant pour 11 lloo vers un f donné de E, donne en même temps
la convergence vers f de cette suite pour la norme préhilbertienne : on
a bien F partout dense dans E pour la norme préhilbertienne et ce qui
précède s'applique.
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