Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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orthogonale, fn, de f sur Fn existe, et on sait que
n
f n = L (!, ek}ek
k=O
(conséquence 14.28).
On a f = f - f n + f n avec f - f n E F,t et f n E Fn d'où
11/11 2 =Il/ - /nll 2 + ll/nll 2
et, vu la décomposition de fn dans une base orthonormée de Fn on a
n
ll/nll 2 = L((/,ek}) 2 .
k=O
La série de terme général ( (/, ek} ) 2 , positif, est donc convergente, la
suite des sommes partielles étant majorée par 11/11 2 puisque
n
L((/,ek}) 2 =11/11 2 - Il/- /nll 2 ~ 11/11 2 ·
k=O
OO
14.38. De plus, sa somme vérifie l'inégalité L ( (/, ek} ) 2 ~ 11/ 11 2 dite
k=O
inégalité de Bessel, (ou Parseval Bessel).
On peut remarquer que tout ce qui précède peut se faire dans tout
espace vectoriel préhilbertien réel E de dimension infinie, avec un sousespace vectoriel F de dimension dénombrable stricte, et (en)nEN base orthonormée de F obtenue par le procédé d'orthonormalisation de Schmidt,
à partir d'une base de F.
Par contre, ce qui suit va supposer que F est partout dense dans E
(pour la norme préhilbertienne). Soit toujours f E E.
Soit c > 0, il existe h E F tel que Il/ - hll 2 ~ c.
L'élément h de F se décomposant dans la base des (en)nEN avec
un nombre fini de coordonnées non nulles, il existe no dans N tel que
h E Vect (eo, ei, ... , en 0 ) = Fno·
Si fno est la projection orthogonale· de f sur Fn 0 , on a alors
Il/ - hll 2 =Il/ - fno + fno - hll 2
avec f - fno E Frfo et fno - h E Fn 0 , donc
Il/ - hll 2 =Il/ - fnoll 2 +li/no - hll 2 d'où Il/ - fnoll 2 ~Il/- hll 2 ~ é.