230 Analyse fonctionnelle
Or, un exercice classique sur les séries de Fourier, (voir exercice 1,
OO
1
~
W
chapitre 15) donne L 2 = - 6 . Il en résulte que: ll(P)I ~ r,;llPll :
n=l n
v6
l'application linéaire l est une forme continue donc son noyau F est un
hyperplan fermé de E (hyperplan car l =/:- 0).
On a pl.. = {O}, en effet, si Q non nul existe dans pl.., soit q = d 0 Q et,
pour i ~ q, on considère le polynôme Rï(X) = -(i+ l)Xi+ (q+2)Xq+l.
(i+l)
q+2
On a l(Rï) = - - . - 1 - + - - 2 = 0, donc Rï E F. Mais alors
i+
q+
q·
(Rï, Q) = 0, d'où, si Q(X) = L ajXj, il vient -(i + l)ai = O. Donc
.
j=O
chaque lli = 0 =? Q = O.
On a donc F fermé, F1- fermé, et F EB FJ_ = F, (car FJ_ = {0}) avec
.
1
F =/:- E pwsque la formel n'est pas nulle, l(X) = 2" par exemple.
Sur cet exemple, il n'y a pas de projection orthogonale sur F.
•
Cet exemple prouve aussi, puisque FJ_ = { 0}, que F1-1- = E et on a
F ~ F1-1-, inclusion stricte.
L'étude des projections orthogonales permet d'introduire la notion
de famille totale, qui montrera pourquoi on se contente des bases orthonormées dénombrables.
Je considère de nouveau E = C 0 ([a, b], R) muni du produit scalaire
(f,g) =lb f(t)g(t)p(t)dt
(exemple 14.18).
Soit
F ={restrictions des fonctions polynômes au segment [a, b]} et
Fn = {restrictions des fonctions polynômes de degré n au plus, au
segment [O, b]}.
Le procédé d'orthonormalisation de Schmidt, appliqué à la base canonique de F formée des fonctions monômes donne une famille orthonormée
(en)ne 1~ de polynômes, de degrés échelonnés.
Pour chaque n E N, ( eo, ei, ... , en) est une base orthonormée de
Fn. Soit alors f E E. Comme Fn est de dimension finie, la projection