Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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THÉORÈME 14.36. - Soit E préhilbertien réel. Si F est un sous-espace
vectoriel de E tel que E = F œ p.l, on a F et p.l fermés et F = p..l..l.
D'abord F = p..l..l, car F C (F..l )..l est évident, (x de F est bien
orthogonal à tout y de p..l donc x vérifie la condition d'appartenance à
(F..l)..l). Puis, soit x E p..l..l, on le décompose en x = y+z dans la somme
directe FœF..l. Comme z E p..l on a (x, z) =(y, z) + llzll 2 = 0, or y E F
donc (y, z) = 0 il reste llzll 2 = 0 d'où x =y E F et l'inclusion p..l..l CF.
Soit maintenant p la projection orthogonale sur F. Si x de E est
décomposé en x = y+ z avec y dans F et z dans p..l, on a p(x) = y
et
llp(x)ll 2 = llYll 2 ~ llYll 2 + llzll 2 = llxll 2
par Pythagore, d'où Vx E E, llp(x)ll ~ llxll : l'application linéaire p
est continue car 1 lipschitzienne (Tome 2, Théorème 6.18). Mais alors
p..l = p- 1 ({0}) est fermé comme image réciproque d'un fermé par p
continue. Comme l'application x ~ q(x) = x - p(x) est aussi continue,
(c'est q = idE - p) et que F = q- 1 ( {O}) on a aussi F fermé de E.
•
REMARQUE 14.37. - Le fait que F et p..l soient fermés ne suffit pas pour
obtenir E = F œ F..L.
On va se placer dans E préhilbertien non complet, (sinon F fermé
dans un complet serait complet et le Théorème 14.29 s'appliquerait.
Soit donc E = IR[X], (espace de dimension dénombrable stricte, il ne
sera pas complet), avec, si pet Q sont les polynômes P(x) = L anxn
nEN
et Q = L bnXn, le produit scalaire (P, Q) = L anbn, expression
nEN
nEN
ayant un sens puisque les an et les bn sont presque tous nuls.
On définit l : E ~ IR par l(P) = L an 1 , somme finie en fait.
nEN n+
p
Si p = ~ P, l(P) = L ~.donc par application de l'inégalité de
n=O n+ 1
Cauchy Schwarz dans jRP+ 1 euclidien canonique on a
(l(P)) 2 ~ (f; (n ~ l)2) (!;a~) ~ (En~)· llPll 2