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Analyse fonctionnelle
et permet de dire que y= p(x) est le seul élément de P, (conveu) tel que,
'Vz E P, (x - y, z - y} ~ O.
Achevons la justification du théorème 14.29.
Soit E préhilbertien réel et P sous-espace complet de E.
Comme P, sous-espace vectoriel, est convexe, le théorème de Riesz
(lemme 14.30), s'applique : pour chaque x de E, il existe un unique élément
y= p(x) dans P tel que llx- (px)ll = d(x, P), donc aussi (lemme 14.32),
tel que 'Vz E P, (x - p(x), z - p(x)} ~O.
Mais, 'Vu E P, z = u + p(x) E P, (sous-espace), et alors z - p(x) = u
d'où, Vu E P, (x - p(x), u} ~ O.
Comme -u E P, on a aussi (x -p(x), -u} = -(x - p(x), u} ~ 0 d'où
finalement Vu E P, (x - p(x), u} = 0 donc x - p(x) E pl._
Enfin, on a x = x- p(x) + p(x), donc E =pl.+ P, puisque x - p(x)
est dans pl. et p( x) dans P, ce qui achève la justification du résultat
E = PœPl..
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REMARQUE 14.34. - Les calculs ont surtout fait intervenir le carré de la
norme.
REMARQUE 14.35. - Une vision géométrique, (triangle isocèle, parallélogramme, angles obtus pour la condition (x - y, z - y} ~ 0) permet de
comprendre intuitivement la situation.
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Si dans K convexe on a un y tel que l'angle xp(x)y soit aigu, entre
p(x) et y il y a des points de K plus près de x que p(x).