Espaces préhilbertiens réels, .espaces euclidiens
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Si on avait l lx -yl 1 = l lx - y'l I = 8, le triangle (x, y, y') serait isocèle
y+y'
et comme - 2 - E K, on aurait
llx - y~ y' 112 = llx - Yll2 - Il y~ y' 112
.Donc si y =F y', llx - y~ y' 11
2 < 8 2 , l'élément y~ y' serait donc trop
près de x, d'où y = y'.
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LEMME 14.32. -L'élément yde K tel que llx-yll = d(x, K) est caractérisé
par la condition : y E K et Vz E K, (x - y, z - y} ~ O.
Si on suppose qu'il existe y E K tel que, Vz E K, (x - y, z - y} ~ 0,
ona
llx - zll 2 = ll(x - y)+ (y - ~)11 2
= llx -yll 2 + 2(x -y,y- z} + llY- zll 2 ~ llx -yll 2
puisque, par hypothèse, 2(x-y, y-z} ~O. Mais alors, la borne inférieure
des llx - zll 2 quand z varie dans K est atteinte en y.
Réciproquement, soit y tel que llx - Yll = d(x, K) et z dans K, pour
tout t E [O, 1], l'élément tz + (1 - t)y est dans K, (convexe), donc
llx - Yll 2 ~ llx - (tz + (1 - t)y)ll 2 = ll(x -y)+ t(y - z)ll 2
soit
d'où l'on déduit l'inégalité:
2t(x -y,z -y}~ t 2 11Y- zll 2
valable pour tout t de JO, 1]. On simplifie part et on fait tendre t vers 0,
il en résulte que (x - y, z - y} ~ 0, d'où le résultat.
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REMARQUE 14.33. - La justification du lemme 14.32 utilise le fait que K
est convexe, et que d(x, K) est atteinte, par le fait que K soit complet.
Le résultat s'applique donc dans le cadre du théorème 14.27 ou plus
généralement de tout projecteur orthogonal de E sur un sous-espace F