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Analyse fonctionnelle
On applique cette identité avec a = tp - x et b = tq - x d'où
( tp +tq
)
a - b = tp - tq et a+ b = tp + tq - 2x = 2 - 2 - - x .
Ona
d'où
t +t
Il t +t Il
.Mais K étant convexe, y E K donc x - y ~ 8, d'où a
fortiori
majorant qui tend vers 0 si pet q tendent vers +oo : on a bien Ve > 0,
3po E N, Vp ~ PQ, 'r/q ~ po, lltp - tq11 2 ~ c 2 : la suite est de
Cauchy, dans K complet, donc convergente dans K. Soit y sa limite,
la continuité de la norme dans un espace vectoriel normé implique que
llx -yll = lim llx - tnll soit llx -yll = 8.
n-++oo
Enfin, y est le seul élément de K convexe où la distance est atteinte.
Analyse fonctionnelle
On applique cette identité avec a = tp - x et b = tq - x d'où
( tp +tq
)
a - b = tp - tq et a+ b = tp + tq - 2x = 2 - 2 - - x .
Ona
d'où
t +t
Il t +t Il
.Mais K étant convexe, y E K donc x - y ~ 8, d'où a
fortiori
majorant qui tend vers 0 si pet q tendent vers +oo : on a bien Ve > 0,
3po E N, Vp ~ PQ, 'r/q ~ po, lltp - tq11 2 ~ c 2 : la suite est de
Cauchy, dans K complet, donc convergente dans K. Soit y sa limite,
la continuité de la norme dans un espace vectoriel normé implique que
llx -yll = lim llx - tnll soit llx -yll = 8.
n-++oo
Enfin, y est le seul élément de K convexe où la distance est atteinte.