Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
225
CONSÉQUENCE 14.28. - Soit P sous-espace de dimension n, une base
orthonormée B = { ei, ... , en} de P. Si p est la projection orthogonale
n
de E sur P, on a 'Vx E E, p(x) = ~)x, ei)ei.
i=l
n
Car, en décomposantp(x) dans la base B enp(x) = ·~::::>l!iei on ap(x)
i=l
caractérisé par la condition : x - p( x) E Ker p = pl. ce qui équivaut à :
'Vi=l, ... ,n, (x-p(x),ei)=O
soit (x, ei) - ai = 0 d'où le résultat.
•
Voici un autre cas où la projection orthogonale existe.
THÉORÈME 14.29. - Soit E préhilbertien réel et P un sous-espace vectoriel
de E, complet pour la norme induite par celle de E . .Afars E = P E9 pl..
Procédons par étapes.
LEMME 14.30. - (Théorème de Riesz). Soit K une partie non vide de E,
complète et convexe . .Afars pour tout x E E il existe un et un seul y de K
tel que llx - Yll = d(x, K).
Autrement dit, la distance de x au convexe complet K est atteinte en
un point unique.
Soit 8 = d(x, K) = inf {l lx -tl I; t E K}. Ce réel existe et comme pour
1
tout n EN, il existe tn E K tel que llx - tnll ~ 8 + - - 1 , (sinon 8 non
n+
borne inférieure) on considère cette suite (tn)nEN d'éléments de K telle
que lim llx - tnll = 8.
n-++oo
Que faire de cette suite dans K complet, si ce n'est justifier qu'elle
est de Cauchy? Et pour cela évaluer lltp - tqll· On est dans un espace
préhilbertien où l'on dispose de la relation dite du parallélogramme :
14.31. Soient a et b dans E préhilbertien, on a lia+ bll 2 +lia - bll 2 =
2(llall 2 + llbll 2 ), (il suffit de développer), ou encore: la somme des carrés
des longueurs des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme
des carrés des longueurs des côtés.