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Analyse fonctionnelle
Rappelons d'abord qu'un projecteur, dans E espace vectoriel, est un
endomorphisme p de E vérifiant p 2 = p. On a alors E = p( E) E9 Ker p et
six de Ese décompose en y+z dans cette somme directe, on ap(x) =y,
p s'appelant encore projection sur p(E) parallèlement à Kerp, (Algèbre
6.48).
DÉFINITION 14.25. - Soit E préhilbertien réel. On dit qu'une projection p
sur P parallèlement à G est orthogonale si et seulement si G = pl...
Donc avoir une projection orthogonale de E sur P équivaut à avoir
E=PœPJ....
Remarquons que, la forme quadratique servant à définir la structure
préhilbertienne étant définie, on a P n pl.. = { 0} pour tout sous-espace
P de E, (x de P n pl.. est tel que (x, x) = llxll 2 = 0), cette condition de
somme directe revient donc à justifier que E = P + pl...
Avant de voir si, étant donné un sous-espace P de E, il existe une
projection orthogonale sur P, voyons l'intérêt de cette notion.
THÉORÈME 14.26. - Soit E un espace préhilbertien réel et P un sous espace
tel que E = P E9 pl... Si xo de E se décompose en xo = uo + vo dans cette
somme directe, (uo E P, vo E pl..), la distance de xo à P est atteinte en
uo et vaut l lvo 11·
En effet, (d(xo, P)) 2 = inf {llxo - ull 2 ; u E P}.
Or xo - u = ( uo - u) + vo avec uo - u E P et vo E pl.. : par Pythagore
ona
llxo - ull 2 = lluo - ull 2 + llvoll 2 ~ llvoll 2
borne inférieure atteinte lorsque u = uo.
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On verra comment on peut encore caractériser le point uo où cette
distance est atteinte, à la remarque 14.33, et au lemme 14.32.
Venons-en à la question de savoir si, P étant donné, on peut projeter
orthogonalement sur iui. La réponse sera : pas toujours!
THÉORÈME 14.27. - Si Pest sous-espace vectoriel de dimension finie de E
préhilbertien, on a E = P E9 pl...
En effet P n pl.. = { 0} donc P est alors sous espace non isotrope de
dimension finie, le résultat a été justifié, (Algèbre, théorème 11.25).
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