Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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qu'on peut prendre pour intervalle d'intégration un intervalle non borné,
ou semi ouvert, et prendre des fonctions d'intégrale impropre convergente.
Le schéma directeur reste le même.
Voici des exemples
14.21. E = {fonctions continues de ] - 1, 1 [ dans R telles que
1
1 f2(t)
~dt converge},
-1
1
1 f(t)g(t)
•
A
(!, g) =
~dt condwt aux polynomes de Tchebychev, Pn,
-1
1-t
avec Pn(x) =cos (n Arccosx).
14.22. E = C 0 ([-1,1],IR), p(t) = 1, donc (f,g) = 1
1 J(t)g(t)dt. On
-1
o
A
1 ~
obtient les polynomes de Legendre, on a Pn(x) = 2 nn! dxn [(x 2 - l)n].
14.23. E = {fonctions continues de Ill dans Ill telles quel J 2 (t)e-t
2 dt
converge} ce qui conduit aux polynômes de Hermite.
2 ~(e-X2)
Cette fois on obtient Pn(x) = (-lrex
dxn
14.24. E = {fonctions continues de [O, +oo[ dans R telles que
r+oo
Jo J 2 (t)e-tdt converge} conduit aux polynômes de Laguerre. On a
D
(
)
eX ~ ( -X n)
.rn x = n! dxn e x .
La liste n'est pas close et tout lecteur peut inventer sa famille de
polynômes personnalisée. La recette est simple : choisir l'intervalle et la
fonction p puis ... établir des propriétés !
3. Projection orthogonale
Nous voici parvenus à ce que je pense être l'essentiel des espaces
préhilbertiens : la projection orthogonale.