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Analyse fonctionnelle
lg(t1)I
[a+ b
1
]
lg(t)i ~ c = -·- 2 - avec J c - 2 - +no+ 1 , b . Alors \ln ~ no,
g - fn = g sur Jet on aura llg -'fnll 2 ~ l c2p > 0: ici encore les fn
ne convergent pas vers g.
Mais alors g, limite éventuelle, n'est pas continue en a; b. L'espace
n'est pas complet.
•
Bien sûr, g est associé à la limite de la suite des f n dans le complété
de E car ... toute suite de Cauchy d'un espace E converge, si ce n'est pas
dans E, c'est dans son complété (tome 2, théorème 4.111).
Je n'abandonne pas ces espaces, véritables« trésors» pleins de ressources.I
En effet, dans E figurent les fonctions monômes en : t ---+ tn.
Le procédé d'orthonormalisation de Schmidt, (Théorème 14.8) permet
donc de construire une famille (Pn)nEN de polynômes, de degrés échelonnés, orthogonaux pour le produit scalaire, de norme 1. De plus, si le
signe du coefficient directeur est précisé ces polynômes sont déterminés
de manière unique.
14.20. Chaque Pn admet n zéros distincts dans ]a, b~ (n ~ 1).
En effet, on commence par remarquer que si Q est de degré q < n,
Q E Vect (Po, Pi, ... , Pq), or les Pj. pour j ~ q < n sont tous
orthogonaux à Pn donc (Q, Pn} = O.
Soit alors o:i, 0:2, ... , O:r les zéros d'ordre impair de Pn dans ]a, b[
ordonnés:
a < 0:1 < 0:2 < · · · < O:r < b
r
Le polynôme Q défini par Q(x) = IJ (x - O:j) change de signe, sur
j=l
]a, b[, en même temps que Pn, donc la fonction continue x---+ Q(x)Pn(x)
est de signe constant sur [a, b], nulle en un nombre fini de points: on a
(Q, Pn} = 1b PnQP ;:fa O.
C'est donc que le degré r de Q vérifier ~ n. Mais Pn, de degré n
ayant au plus n zéros et en ayant r d'ordre impair avec r ~ n, c'est que
r = n, et que tous les zéros de Pn sont simples et dans ]a, b[.
•
Nous retrouverons ces polynômes au paragraphe suivant, car, comme
les « pâtes riches » il s'agit d'une structure «riche ». Disons simplement
Analyse fonctionnelle
lg(t1)I
[a+ b
1
]
lg(t)i ~ c = -·- 2 - avec J c - 2 - +no+ 1 , b . Alors \ln ~ no,
g - fn = g sur Jet on aura llg -'fnll 2 ~ l c2p > 0: ici encore les fn
ne convergent pas vers g.
Mais alors g, limite éventuelle, n'est pas continue en a; b. L'espace
n'est pas complet.
•
Bien sûr, g est associé à la limite de la suite des f n dans le complété
de E car ... toute suite de Cauchy d'un espace E converge, si ce n'est pas
dans E, c'est dans son complété (tome 2, théorème 4.111).
Je n'abandonne pas ces espaces, véritables« trésors» pleins de ressources.I
En effet, dans E figurent les fonctions monômes en : t ---+ tn.
Le procédé d'orthonormalisation de Schmidt, (Théorème 14.8) permet
donc de construire une famille (Pn)nEN de polynômes, de degrés échelonnés, orthogonaux pour le produit scalaire, de norme 1. De plus, si le
signe du coefficient directeur est précisé ces polynômes sont déterminés
de manière unique.
14.20. Chaque Pn admet n zéros distincts dans ]a, b~ (n ~ 1).
En effet, on commence par remarquer que si Q est de degré q < n,
Q E Vect (Po, Pi, ... , Pq), or les Pj. pour j ~ q < n sont tous
orthogonaux à Pn donc (Q, Pn} = O.
Soit alors o:i, 0:2, ... , O:r les zéros d'ordre impair de Pn dans ]a, b[
ordonnés:
a < 0:1 < 0:2 < · · · < O:r < b
r
Le polynôme Q défini par Q(x) = IJ (x - O:j) change de signe, sur
j=l
]a, b[, en même temps que Pn, donc la fonction continue x---+ Q(x)Pn(x)
est de signe constant sur [a, b], nulle en un nombre fini de points: on a
(Q, Pn} = 1b PnQP ;:fa O.
C'est donc que le degré r de Q vérifier ~ n. Mais Pn, de degré n
ayant au plus n zéros et en ayant r d'ordre impair avec r ~ n, c'est que
r = n, et que tous les zéros de Pn sont simples et dans ]a, b[.
•
Nous retrouverons ces polynômes au paragraphe suivant, car, comme
les « pâtes riches » il s'agit d'une structure «riche ». Disons simplement