Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
221
1---·-----"
0
n tend vers l'infini donc la suite (/n)nEN est de Cauchy dans E normé
par li/li~ (f. f'•f'
S'il y avait convergence, dans E, pour cette norme, vers g, on devrait
avoir g(t) = 1 sur [a, a; b [ etg(t) = 0 sur] a; b, b]. Eneffetg dans E
est continue. Soit to E [a, a; b [·Si g(to) =/: 1, la fonction t ~ lg(t) - li
étant continue, non nulle en to, sic= lg(to)-11, par continuité il existe un
intervalle I contenant to, contenu dans [a, a; b [ de longueur non nulle
sur lequel lg(t) - li ~ ~- Comme pour tout n, fn(t) = 1 sur [a, a; b]
ona
avec li p > 0, donc llg - fnll ne peut pas tendre vers O.
Sur] a; b, b] on procède de même en commençant, si g(t1) =/: 0, par
fix
1
a+b
1
.
d
.
. .
er no te que - 2 - + - - 1 < ti, pws en étermmant, par contmwté
no+
de g, un intervalle J de longueur non nulle, contenant ti, sur lequel