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Analyse fonctionnelle
ce qui implique la convergence de la série des ( u~ - un) 2 , (n indice),
puisque les sommes partielles sont majorées par ê, et aussi que
OO
14.16.
'v'e > 0, 3Po, 'v'p ~Po, L(u~ - un) 2 ~ e.
n=O
Mais alors, en fixant p, et en notant u la suite des Un, on a en
particulier uP - u E l 2 (1R) puisque la série des (u~ - un) 2 converge,
et comme uP E l 2 (1R), espace vectoriel, c'est que u E l 2 (1R) et enfin 14.16
se lit:
'v'e > 0, 3Po, 'v'p ~Po, lluP - ull 2 ~ e
ce qui traduit la convergence de la suite de Cauchy des uP vers u dans
l 2 (R).
•
REMARQUE 14.17. - Ceci permet de répondre à une question non posée:
l'espace l 2 (JR) n'est pas de dimension dénombrable puisque complet pour
une norme. A fortiori JRN n'est pas non plus de dimension dénombrable.
EXEMPLE 14.18. - E = C 0 ([a, b], IR). On se donne une fonction p, définie
continue de [a, b] dans R+, ne s'annulant qu'en des points isolés. On pose
cp(f,g) =lb J(t)g(t)p(t)dt.
Uintégrale étant une forme linéaire positive sur les fonctions, cp est
bilinéaire symétrique positive; elle est définie car avec J 2 p continue implique J 2 p nulle, donc f nulle sauf a priori en des
points isolés de [a, b] : par continuité f est nulle.
14.19. Cet espace n'est pas de Hilbert, même pas de temps en temps,
une petite fois, avec p bien choisie. Non! jamais!
En effet soit fn de graphe ci après, (pour n assez grand).
[ a + b]
[a+ b 1 ]
Pourn etsur - 2 -+ n+l'b
.
[a+ b a+ b 1 ]
maJorée par 1, en valeur absolue, sur - 2 - , - 2 - + n + 1 donc
.tlë+_l_
1
llfm - fnl1 2 ~ {
2
n+l p(t)dt ~ liPllool' quantité qui tend vers 0 si
' J~+b
n+
2