Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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OO
C'est une forme définie positive car (u, u) = Lu~ ~ 0 et c'est nul si
n=O
et seulement si chaque Un = O.
14.12. En fait l 2 (1R) est un espace de Hilbert. Vérifions donc que, pour sa
norme préhilbertienne, l'espace est complet.
Soit (uP)pEN une suite de Cauchy d'éléments de l 2 (1R). On notera
uP = (u~)nEN·
La suite ( uP)pEN étant de Cauchy, on a
OO
14.13. 'Ve> 0, 3po, 'Vp ~Po, 'Vq ~Po, lluP-uqll 2 = L(u~-u~) 2 ~ e.
n=O
Une remarque préalable : dans les espaces préhilbertiens, on utilise
le plus souvent le carré de la norme pour simplifier les calculs.
A fortiori, pour chaque n fixé dans N on a lu~ - u~l 2 ~ ë dès que
p ~Po et q ~ qo, Po étant associé à ë. C'est que la suite (u~)pEN et n fixé
cette fois, est de Cauchy dans IR complet, donc convergente.
Posons Un = lim u~.
p-++oo
La relation 14.13 implique également que, pour chaque N fixé dans N
ona
N
14.14. 'Ve> 0, 3po, 'Vp ~Po, 'Vq ~ qo, 'VN EN, L(u~ - u~) 2 ~ e.
n=O
Dans 14.14, pour p fixé et N fixé, si q tend vers +oo on a
(somme finie de limites), d'où, en passant à la limite quand q tend vers
+oo,
N
14.15.
'Ve> 0, 3po, 'Vp ~Po, 'VN EN, :~:::)u~ - un) 2 ~ ë
n=O