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Analyse fonctionnelle
Il convient de remarquer que la matrice de passage de (eo, ... , ep+Ü
à (eo, ... ,ep+l) est triangulaire, et que, si le signe des coefficients diagonaux est précisé, elle est unique.
2. Des exemples
EXEMPLE 14.9. -E =Rn, rapporté à sa base canonique B = (e1, ... , en)·
n
n
n
Six = L Xiei et y = L Yiei on pose (x, y) = L XïYi· On a une forme
i=l
i=l
i=l
bilinéaire définie positive, de matrice In dans la base B.
n
La base Best orthonormée, et llxll 2 = L xr
i=l
Le théorème 14.8 nous prouve que tout espace euclidien de dimension
n est de ce type, lorsque l'on a choisi une base orthonormée.
OO
OO
EXEMPLE 14.10. - E = IR[X]. Si P = LaiXi et Q = LbiXi, les ai
i=O
i=O
et les bi étant presque tous nuls, on pose (P, Q) = L aibi, (somme finie
iEN
en fait) et (P, Q) ~ (P, Q) est une forme bilinéaire symétrique définie
positive. On a un espace préhilbertien réel qui n'est pas de Hilbert, un
espace vectoriel normé de dimension dénombrable stricte n'étant jamais
complet, voir tome 2, corollaire 6.33.
EXEMPLE 14.11. - l 2 (R). Soit l'ensemble E des séries u = (Un)nEN de
terme général réel Un, telles que la série des ( Un) 2 converge. Cet ensemble
est un sous-espace vectoriel de l'espace !RN des suites réelles car la suite
nulle est dans E et, comme pour tout entier non a 2lunl lvnl ~ u~ + v~
(c'est (lunl - lvnl) 2 ~ Ü) si U et V sont dans l 2 (1R), la série de terme
général ÀUn + µvn y sera aussi car la série des UnVn étant absolument
convergente, la majoration (>.un + µvn) 2 ~ >. 2 u~ + 21>.µunvnl + µ 2 v~
prouve la convergence de la série des (>.un +µvn) 2 • Donc >.u+µv E l 2 (1R).
On définit alors une forme bilinéai!e symétrique sur E par
OO
(u, v) = L UnVn
n=O