Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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Une notion importante sera celle de base orthonormée, c'est-à-dire
d'une base formée de vecteurs deux à deux orthogonaux, et tous de norme
1. Ce que l'on sait, c'est qu'en dimension dénombrable, de telles bases
existent.
THÉORÈME 14.8. - (dit du procédé d'orthonormalisation de Schmidt).
Soit E un espace vectoriel euclidien, (ou préhilbertien réel de dimension
dénombrable stricte) il admet des bases orthonormées.
Plus précisément, si B = (ek)kEK• (K partie finie ou non de N), est
une base de E, il e'xiste une base C = (ek)keK orthonormée telle que
pour tout k de K, Vect (eo, ei, ... , ek) = Vect (eo, ei, ... , ek)·
On procède par récurrence sur k.
_Pour k = 0, on prend eo = ± ll:~ll : il est de norme 1.
On suppose construit eo, ... , êp deux à deux orthogonaux, de norme 1
et tels que \:/k :i:;; p,
On cherche êp+l tel que
Ep+I = Vect (eo, ei, ... , ep, ep+1) = Ep œ Rep+l
soit aussi
Vect (eo, ei, ... , ep, êp+I) = Vect (eo, ... , ep) EB IRep+l = Ep EB Rep+l ·
On choisit d'abord e~+l = ep+l + u avec u dans Ep tel que e~+l soit
orthogonal aux éi, 0 :i:;; i :i:;; p.
p
En posant u = L Àiei, les conditions (ei, e~+ 1 ) = 0 pour i = 0, ... ,p
i=O
donnent 0 = (ei, ep+l) + Ài, d'où un choix possible de e~+l· qui est non
nul, (composante suivant ep+l égale à 1 dans sa décomposition dans la
e'
famille libre eo, ... , ep, ep+l). Le vecteur êp+l = ± lle~::ll sera donc de
norme 1, orthogonal à chaque éi pour i :i:;; p, et Vect (eo, ... , ep+I) =
Vect (eo, ... , ep+l)·
Le procédé est récurrent et fournit donc une base orthonormée de E
euclidien, ou préhilbertien de dimension dénombrable stricte.
•
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Une notion importante sera celle de base orthonormée, c'est-à-dire
d'une base formée de vecteurs deux à deux orthogonaux, et tous de norme
1. Ce que l'on sait, c'est qu'en dimension dénombrable, de telles bases
existent.
THÉORÈME 14.8. - (dit du procédé d'orthonormalisation de Schmidt).
Soit E un espace vectoriel euclidien, (ou préhilbertien réel de dimension
dénombrable stricte) il admet des bases orthonormées.
Plus précisément, si B = (ek)kEK• (K partie finie ou non de N), est
une base de E, il e'xiste une base C = (ek)keK orthonormée telle que
pour tout k de K, Vect (eo, ei, ... , ek) = Vect (eo, ei, ... , ek)·
On procède par récurrence sur k.
_Pour k = 0, on prend eo = ± ll:~ll : il est de norme 1.
On suppose construit eo, ... , êp deux à deux orthogonaux, de norme 1
et tels que \:/k :i:;; p,
On cherche êp+l tel que
Ep+I = Vect (eo, ei, ... , ep, ep+1) = Ep œ Rep+l
soit aussi
Vect (eo, ei, ... , ep, êp+I) = Vect (eo, ... , ep) EB IRep+l = Ep EB Rep+l ·
On choisit d'abord e~+l = ep+l + u avec u dans Ep tel que e~+l soit
orthogonal aux éi, 0 :i:;; i :i:;; p.
p
En posant u = L Àiei, les conditions (ei, e~+ 1 ) = 0 pour i = 0, ... ,p
i=O
donnent 0 = (ei, ep+l) + Ài, d'où un choix possible de e~+l· qui est non
nul, (composante suivant ep+l égale à 1 dans sa décomposition dans la
e'
famille libre eo, ... , ep, ep+l). Le vecteur êp+l = ± lle~::ll sera donc de
norme 1, orthogonal à chaque éi pour i :i:;; p, et Vect (eo, ... , ep+I) =
Vect (eo, ... , ep+l)·
Le procédé est récurrent et fournit donc une base orthonormée de E
euclidien, ou préhilbertien de dimension dénombrable stricte.
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