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Analyse fonctionnelle
et l'inégalité de Minkowski, (Algèbre, Corollaire 11.61), donne. l'inégalité
triangulaire.
14.3. Un espace préhilbertien réel est donc en fait un espace vectoriel
normé, la norme étant associée à une forme bilinéaire symétrique cp, forme
polaire de 14.4. L'espace est dit de Hilbert s'il est complet pour la norme préhilbertienne llxll = J
finie, et munissant !Rn d'une structure d'espace vectoriel normé complet
(Tome 2, théorème 6.28).
14.5 Soient x et y deux vecteurs de E préhilbertien réel, on dira qu'ils
sont orthogonaux, (au lieu de conjugués), si cp(x, y) = 0, cp forme polaire
de L'inégalité de Cauchy devient :
14.6
'V(x,y) EE 2 , i(x,y}i ~ llxll llYll
et, si x et y sont non nuls, il existe un seul (} E [O, 7r] tel que cos(} =
1 1 ;~, ~~Il' ce qui permet de parler de l'angle de deux vecteurs non nuls x
et y de E préhilbertien réel, (} étant une mesure en radians de cet angle.
Bien sûr on dira comme tout le monde que (} est l'angle des deux vecteurs.
Si x et y sont orthogonaux, on a
llx + yi1 2 = (x +y, x +y) = (x, x} + 2(x, y) + (y, y) = (x, x} + (y, y)
puisque (x, y) = 0, soit encore llx +yll 2 = llxll 2 + llYll 2 : c'est Pythagore
que voilà. D'un seul coup nous sommes passés des premiers hommes à
l'antiquité grecque!
THÉORÈME 14.7. -Dans E préhilbertien réel on a (x, y) = 0 {:::} llx+yll 2 =
llxll 2 + llYll 2 .
•
On peut alors se demander dans quel cas une norme sur un espace
vectoriel E est associée à un produit scalaire. C'est simple, c'est lorsque
l'application x ~ llXll 2 est une forme quadratique, donc lorsque l'application (x, y) ~ ~(llx + yll 2 - llx - yi1 2 ) est bilinéaire, (voir Algèbre,
théorème 11.8).
Analyse fonctionnelle
et l'inégalité de Minkowski, (Algèbre, Corollaire 11.61), donne. l'inégalité
triangulaire.
14.3. Un espace préhilbertien réel est donc en fait un espace vectoriel
normé, la norme étant associée à une forme bilinéaire symétrique cp, forme
polaire de 14.4. L'espace est dit de Hilbert s'il est complet pour la norme préhilbertienne llxll = J
finie, et munissant !Rn d'une structure d'espace vectoriel normé complet
(Tome 2, théorème 6.28).
14.5 Soient x et y deux vecteurs de E préhilbertien réel, on dira qu'ils
sont orthogonaux, (au lieu de conjugués), si cp(x, y) = 0, cp forme polaire
de L'inégalité de Cauchy devient :
14.6
'V(x,y) EE 2 , i(x,y}i ~ llxll llYll
et, si x et y sont non nuls, il existe un seul (} E [O, 7r] tel que cos(} =
1 1 ;~, ~~Il' ce qui permet de parler de l'angle de deux vecteurs non nuls x
et y de E préhilbertien réel, (} étant une mesure en radians de cet angle.
Bien sûr on dira comme tout le monde que (} est l'angle des deux vecteurs.
Si x et y sont orthogonaux, on a
llx + yi1 2 = (x +y, x +y) = (x, x} + 2(x, y) + (y, y) = (x, x} + (y, y)
puisque (x, y) = 0, soit encore llx +yll 2 = llxll 2 + llYll 2 : c'est Pythagore
que voilà. D'un seul coup nous sommes passés des premiers hommes à
l'antiquité grecque!
THÉORÈME 14.7. -Dans E préhilbertien réel on a (x, y) = 0 {:::} llx+yll 2 =
llxll 2 + llYll 2 .
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On peut alors se demander dans quel cas une norme sur un espace
vectoriel E est associée à un produit scalaire. C'est simple, c'est lorsque
l'application x ~ llXll 2 est une forme quadratique, donc lorsque l'application (x, y) ~ ~(llx + yll 2 - llx - yi1 2 ) est bilinéaire, (voir Algèbre,
théorème 11.8).