CHAPITRE 14
Espaces préhilbertiens réels,
espaces euclidiens
Ce chapitre est certainement celui qui plonge ses racines au plus
profond de notre histoire. Non pas à cause d'Euclide, mais plutôt parcequ'il
est lié à la station debout de l'homme. Qui sait.
Si dans ce lointain passé de plusieurs millions d'années, nos ancêtres
d'Afrique orientale n'avaient pas adopté la station debout pour s'adapter
aux modifications climatiques de leur milieu, peut être que l'humanité
n'aurait jamais soupçonné les merveilles de la projection orthogonale,
de la base orthonormée, et que je ne serais pas en train de me livrer
à c,es élucubrations qui ont pour but de mettre en évidence la place
fondamentale qu'occupe cette notion d'orthogonalité dans la structure que
nous allons étudier.
Accessoirement, les voyages dans le temps et l'espace font rêver et
développent l'imagination.
1. Définitions, premières propriétés
DÉFINITION 14.1. - On appelle espace préhilbertien réel, tout espace
vectoriel réel E, muni d'une forme quadratique définie positive.
Il revient au même de dire que E est muni de non dégénérée positive
(Algèbre, Corollaire 11.59).
14.2. Il en résulte que l'application X -v-t yq;[X} est une norme sur E
(voir tome 2, définition 6.1), car yq;[X} ~ 0, et si c'est nul, comme est
définie, c'est que X est nul; on a J(>.X) = J>. 2 (X) = i>.lyq;[X}