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Analyse fonctionnelle
La fonction f vérifie donc l'équation différentielle !' ( x) + ~ f ( x) = 0 et c'est
r+oo t2 ..Ji
..Ji .,2
la solution telle que f(O) = Jo
e- dt= T• d'où f(x) = 2 e-T,
~ ..Ji (-l)n 2n
donc f(x) = L.J T 4 nn! x .
n=O
21. L'équation caractéristique de la suite est r 2 - or - f3 = O. Si o 2 + 4/3 # 0,
I
Il
elle a deux racines distinctes r 1 et r 11 et Un est du type .>.r n + µr n, avec
uo = 0 = .>.+µetu1=1 = .>.r' +µr". Comme.>.= -µon a 1 = .>.(r' -r")
I
Il
' '
r n - r n
n
(r' zr
(r" z)n
dou Un = ( /
") et UnZ = ( /
") - - 1 - - 11 a un rayon de
r-r
r-r
r-r
R......_·r(1 l)c .
. '...J.".
convergence ~ m
îT'Ï, l·r" I , attention, on peut avoir r 1 r mais
avec lr'I = lr"I>.
Si o 2 + 4/3 = 0 l'équation a une racine double, r, et alors Un est du type
Un = .>.rn + µnrn avec uo = 0 =.>.et u1 = 1 = µr. (A remarquer que
r = 0 nécessite a = /3 = 0, alors uo = 0, u1 = 1, Un = 0, Vn ~ 2, cette
suite n'est pas du type indiqué mais donne une série entière réduite à x.
La forme rappelée de Un suppose r # 0, donc lorsque r est racine double,
c'est dans le cas où /3 et a sont non nuls que nous poursuivons l'étude.
On a Un = nrn-l d'où la série des nrn-l zn de rayon de convergence l~I ·(Si
r = 0 est racine double, S(z) = z admet +oo pour rayon de convergence).
+oo
Si S(z) = L UnZn, (1 - az - {3z 2 )S(z) est une série entière telle que le
n=O
coefficient de zn+l, pour n ~ 1 devient Un+l - aun - f3un-i. nul.
1
Il reste (1 - az - /3z 2 )S(z) = uo + u1z = z, et comme pour lzl < îT'Ï
1
1
1
.
2
et lzl < - 1 "I avec / et -,, racmes de 1 - az - f3z = 0, on a
r
r
r
1 - az + /3z 2 # 0, on a finalement S(z) = 1
z /3 2 sur son disque
-az- z
ouvert de convergence.
On peut remarquer que le rayon de convergence est la distance de 0 à
l'ensemble des pôles de cette fraction rationnelle, c'est bien le plus petit des
1
1
modules des zéros / et -,, du polynôme 1 - az - f3z 2 .
r
r