Séries entières
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du moins, je le pense.
On a alors
n
d'où la convergence pour tout x de la série des Un~ , et de même de celle
n.
xn
des Vn1·
n.
On a enfin
f(x) = uo f Re ( v'3x~iB)n - voh lm (f: ( v'3x,eiB) n)
n.
n.
n=O
n=O
= uo Reev'3x(cos8+i sin8) -voh Imev'3x(cos8+i sin8)
donc
f(x) = uoev'3x cos 8 cos (xv'3 sin9) - vovf2ev'3x cos 8 sin (xv'3 sin9).
Il est temps de se rappeler que cos 9 = ~ et sin 9 = JI. d'où
f(x) = uoex cos (xh) - vohex sin (xh), et on trouverait
g(x) = :;;ex sin (xh) + voex cos (xh).
20. Comme le-t 2 costxl :::;; e-t 2 , l'intégrale f(x) = 1+oc e-t 2 costxdt
converge absolument, en outre f est limite uniforme des fn définies par
2
2
fn(x) = J 0 n e-t costxdt, fonctions continues en x, ((t,x) ~ e-t costx
continue sur [0, n] X [x - 1, x + 1] compact par exemple). Donc f est
continue. De plus fn est dérivable, avec f~(x) = ln -te-t 2 sintxdt,
(théorèmes généraux), et les fonctions f~ convergent uniformément vers
r+oc
2
1+oc
2
g(x) = - Jo
te-t sintxdt car lg(x) - f~(x)I ~ n
te-t dt,
=~: déri~:.:: 7-~: i,'=~;;;:;:: :: :.:
poursuivre les dérivations : f est de classe C 00 •
On peut calculer f'(x) par parties: -te-t 2 dt= dv,v = ~e-t 2 ,u = sintx,
du = x cos tx dt, donc
1
[1
t 2 ]+oc
X 1+oc t2
X
f (x)= 2 sintxe- 0
- 2 0 e- cosxtdt=- 2 J(x).