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Analyse fonctionnelle
Avec t = tgu, dt= (1 + t 2 )du il vient
2s r+oo
dt(l + t 2 )
2s r+oo
dt
Lf(s) = -:;;:- Jo (1 + t2)((1 + t2)s2 + t2) = -:;;:- Jo t2(s2 + 1) + s2
2s
r+ 00
dt
= 7r(s2 + 1) Jo 2 s2
t + (s2+1)
2 [A tJS2+1] +oo
=
r c t g - - -
7l"JS2+î
s
0
1
et finalement Lf(s) = ~pour s >O.
vl +s 2
18. L'énoncé suppose les an non nuls (pour former les rapports). On a
l .
a2n+2
1 .
a2n+2 a2n+l
l l
1m - - = 1m - - - - = 21
n->+oo a2n
n->+oo a2n+l a2n
donc la série des a2nZ 2 n converge si lz 2 l2li 1 < 1, et diverge si lz 2 l2li 1 > 1
parce que dans ce cas a2nZ 2 n ne tend pas vers O.
Comme on a aussi lim a 2 n+ 3 = li h on a le même résultat pour la série
n->+oo a2n+l
des a2n+1z 2 n+l, d'où R = ~.(et R = oo si li ou l2 = 0).
vlil2
19. Avec A = 0 1_ 2 ) et Un = ( ~:) on a Un = AnUo; les valeurs
propres de A sont, (sauf erreur) 1 + i\!'2 et 1 - i\!'2 soit encore v'3e±ie
avec () tel que cos() = .)a et sin() = JI. Avec la matrice de passage
P = (i\!'2 -i\!'2) on trouve p-l AP = ( v'3ei 9
0 . ) d'où
1
1
0
v'3e-ie
et après de longs calculs, on arrive, sauf erreur à
un= (var(uo cosn9-v'2vo sinnfJ)
Vn = (Va)n ( ~ sinnfJ + vo cosnfJ)
i\!'2)
i\!'2