Séries entières
211
1 J' ll" . . t
D'où f(x) = -
e•x sm dt. Mais alors l/(x)I ~ 1 et l'intégrale
211" -11"
impropre 1+oo e-st f(t)dt converge pour s > O. C'est la transformée de
Laplace de f: notons là L(f)(s).
Soit y > O. On a
(par Fubini), et
1111"
Lf(s) = lim - 2
8(y,u)du
y-++oo 11" -11"
avec 8(y,u) = 1Y e-steit sinudt.
Commele-steitsinul ~ e-stetque
e-stdtconverge, lim 8(y,u)
1
+00
0
y-++oo
existe, uniformément en u E [-11", 11") car
majorant qui tend vers 0 si y tend vers +oo.
On a donc
Lf(s) = 2 ~ 1_: (1+oo e-st+it sinudt) du
_ l 111" [et(-s+i sin u)] +
00
- -
du
211" -11" -s + i sin u 0
1 111" du
1 111" (s+isinu)du
= 211" -11" s - i sin u = 211" -11" s2 + sin 2 u
la partie imaginaire de l'intégrale est nulle, (fonction impaire en u) donc
Lf(s) = _!_ 111" sdu = ~ r du
211" -11" s2 + sin 2 u
11" } 0 s 2 + sin 2 u
2s r 12 du
= -;;:- Jo s2 + sin 2 u ·