21 O Analyse fonctionnelle
17.
(car ( 1 + 1:1) n ~ elxl <=> 1 + 1:1 ~ e~, vrai par convexité),
OO
(+oc )
et L L lun,pl converge, donc le théorème d'interversion des somman=l p=l
tions s'applique et donne l'existence et l'égalité des sommes calculées pour
p, ou n, fixé d'abord.
D'où
soit
ce qui donne, pour lxl < 1, un développement de S(x) en série entière sous
OO
la forme S(x) = "apxP avec ap = "
cp-n_l_
L...J
L...J
n nP-n.
p=l
~~n~p
n x2n
1un+11 x2 1
Pour x -:/= 0, avec un(x) = (-1) 22 n(n!)2 on a ~ = 4 (n + l)2
qui tend vers 0, donc la série converge pour tout x réel.
. 2n
1·3·5 ... 2n-1 7r .
1
7r/2
(
)
Un peu de culture : l2n = 0 (sm t) dt =
2 . 4 ... 2 n
2 soit
hn = 22 ~~!!) 2 ; , (intégrale de Wallis), donc, partant de
· ·
(ix sint)n
e'x sm t = L 1 qui converge normalement en t, (x fixé) on a
n.
n~O
Les intégrales pour n impair sont nulles, (fonction impaire sur [-7r, 7r]), il
reste, (parité et symétrie par rapport à i du sinus),