Séries entières
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Pour lxl > 1, pour n «proche» de 2k7r, disons entre 2k7r - i et 2k11' + i·
(il y en a car la différence vaut 2 ; > 1), on aura cosn ;;;i: ~· ..jii,"' v'2k1f
alors que lxln, de l'ordre de grandeur de lxl 2 k11" va tendre vers l'infini
« plus vite » que ..jii,, donc pour ces n E [ 2k11' - i, 2k11' + i J , on a
· lim lanxnl = +oo : la série diverge d'où son rayon de convergence,
k-++oo
R=l.
Plus précisément, anzn, avec z = ei 6 , s'écrit
(
e2in + e-2in)
.
.
1+
3
. (J
n
(em + e-m) in6
2
in6 bn(cos n)em
anz =
2..jii,
e
-
2n
e
+
n3/2
b (cos 3 n)ein(J
La série des n n 312
converge uniformément, (et absolument) en(}
car les bn sont bornés.
Quand aux autres, par application du critère d'Abel, on a convergence de
ein(1+6)
ein(6-1)
L ..jii, pour(}=/= -1(211'), puis convergence de la série des ..jii,
ein6
ein(2+6)
pour (} =/= 1(211'), convergence des 2 n si (} =/= 0(211'); des
4 n
si
ein(6-2)
(} =/= -2(211') enfin de la série des
4 n
pour(}=/= 2(211').
Finalement il y a convergence pour lzl < 1 et z = ei 6 avec (} =/=
-2, -1, 0, 1, 2(211'), carpourchaquevaleurexclueuneetune seule des séries
diverge.
16. On a
il y a donc convergence si et seulement si x E] - 1, 1 [.
Pour lxl < 1, on a
p
Si on pose Un,p = 0 si 1 ~ p < n ou p > 2n et Un,p = c~-n ri:-n pour
n ~ p ~ 2n, alors