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Analyse fonctionnelle
14.
15.
Comme ~l < nX ~ 1, on. a lim Log ( 1 X) = 0, et la série des
n+
x-o+
n
( -1) k ln ( 1 + ~) étant convergente, on a finalement
1
1 (
)E(.!)
lim
-l
"' dx = S(-1) =ln (~)
x-o+ x
x
11"
( 2) n(y1)
Soit un(z) =a n z
. Pour z #- 0, on a
Un+1(z) = a(n+1) 2 -n 2 zn+l = a2n+lzn+l = (a2z)naz
Un(z)
Pour ia 2 zi > 1, la série diverge car un(z)+ 0, si ia 2 zi < 1 elle converge
1
donc R= 2 .
a
En fait, si ia 2 zi = 1, avec z = ei 8 a- 2 on a
donc, si a > 1, il y a convergence pour izl = 1 2 , mais si a ~ 1, il y a
a
divergence car un(z)+ O.
Le
1
cosn
.
N
rée an = ;;;;
existe pour tout n E .
vn+cosn
cosn
1
On a an= ;;;; ·
cosn pour n ;;i: 1, et pour n ;;i: 2,
vn 1+-fo,
1 cfo 1 ~ ~ < 1. En prenant un développement limité de 1 : x, on a
_ cosn ·( 1 cosn cos 2 n(l
( )))
an--- - - + - - +en
Vn
Vn
n
avec lim e(n) =O. Si on pose bn = 1 + e(n), les bn sont bornés et
n->+oo
c~sn cos 2 n bn cos 3 n
an=-----+
.
{Ti,
n
nfo,
La série entière des (cosn) ~ (majoré par I~, en module), converge si
(cos 2 n)xn bn(cos 3 n)xn
!xi < 1, de même les séries de termes généraux
et
Vn
n
n n
convergent si !xi < 1.