Séries entières
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13. Soit un(x) = (1n ( 1 + ~)) xn, on a, pour x =f:. 0, lunl "' lx~n donc le
rayon de convergence est 1.
Puis n ....+ ln ( 1 + ~) tend vers 0 en décroissant, pour z = ei 8 les sommes
q
L einfJ sont bornées pour(} =f:. 0(211") donc (critère d'Abel) la série converge
n=p
et le domaine de convergence est le disque fermé de centre 0 de rayon l,
privé de 1, ( un(l) =ln ( 1 + ~) "'~)Calcul de S(-1)
+oo
S(-1) = L(-l)n(ln (n + 1) - ln (n))
n=l
2p
= lim ~ (-l)n(ln (n + 1) - ln (n))
p->+oo L..,,
n=l
= lim [2(-ln (2) +ln (3) + ... - ln (2p)) +ln (2p + 1)]
p->+oo
= lim ln [(3·5 ... (2p-1))2 (2p+l)· (2·4 ... 2p)2]
p->+oo
2 · 4 ... 2p
2 · 4 ... 2p
- l"
l ( (2p)!2(2p + 1))
- 1 m n
4
4
.
p->+oo
2 P(p!)
Or, par Stirling, on a
(2p)! 2 (2p + 1) "' (2p) 4 P ( v'4P7r) 2 (2p + 1) "' ~
24P(p!)4
e
(p)4p
11"
24P -
( .J27i=P)4
e
donc S(-1) =ln (~}
Pour x E]O, 1], E (~) existe et E (~) = k {::}
1
] 1
1]
k~; Soit X E]O, 1], 3!n tel que _!_l < X ~ ..!:. et lim n = +oo, on a
n+
n x-o+
1
1
1~ (-l)n
nL-lfÎ (-l)k
=
--dx+
- - d x
X
X
X
l
X
k=l k+l
n-1
= (-l)nLog (n~) + L(-l)k ln (k; 1 ).
k=l