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Analyse fonctionnelle
C'est encore
+oo
OO
/'(x) = (1 +x - 2x 2 ) L:x 3 k = L anXn
k=O
n=O
avec a3k = 1, a3k+l = 1 et a3k+2 = -2, et un rayon de convergence
égal à 1. Sur] - 1, 1[ on int.ègre terme à terme et f(O) étant nul, on a
OO
.
2
"'""'
k
1
1
Log (1 + x + x ) = L., bkx avec b3k+1 = 3 k + 1 , b3k+2 = 3 k + 2 et
-2
b3k+3 = 3k + 3·
k=l
12. Soit un(x) = (3n + 1) 2 xn, pour lxl :;l: 0, 1 u:: 1 1 = G:: ~)
2 lxl tend
vers /xi donc le rayon de convergence de la série entière est 1 avec divergence
si lx = 1 car alors lunl ne tend pas vers O. La somme S(x) s'écrit encore
+oo
S(x) = L(9n 2 + 6n + l)xn
n=O
+oo
1
On a L xn = 1 - x.
n=O
On dérive et on multiplie par x d'où x ( (l ~ x ) 2 ) = f nxn. On redérive
n=O
et on multiplie par x :
1
2x
2 n
[
]
OO
x (1 - x)2 + (1 - x)3 = ~ n x
et finalement
18x 2
9x
6x
1
S(x) = (1 - x)3 + (1 - x)2 + (1 - x)2 + 1 - x
_ 18x 2 + 15x(l - x) + (1 - x) 2
-
(1-x)3
et les solutions cherchées sont les x de ] - 1, 1[ annulant 4x 2 + 13x +
-13± v'î53
1 = P(x). On trouve x =
8
. Comme P(l) = 18 > 0 et
P( -1) = -8 < 0 on a -1 entre les racines et 1 extérieur, donc seule
1
.
-13 + v'î53
.
a racine
8
convient.