Séries entières
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Pour lai < 1, on a
1
1r /2
+oo
1
1r /2
f(a) =
S(x)dx = Lan
(cos 2 nx)dx
0
n=O
0
1
1r/2
vu la convergence uniforme en x, donc avec In = 0
(cos 2 nx)dx le
OO
développement en série cherché est f(a) = Linan, avec pour l'instant,
n=O
un rayon de convergence R ~ 1.
1
1r/2
d
Par ailleurs, f(a) =
1
x 2 se calcule avec tgx = t d'où
0
-a cos x
dt
1+oo
dt
dx = - - 2 , f(a) =
1 + t
o (1 + t2) (1 - _a_)
1 +t2
1 +oo dt
= 0
t 2 + (1- a)
soit
f(a) = ~ [Arctg ~] +oo
7r
= ~(1- a)- 1 1 2
v 1 - a
v 1 - a 0
2v'l - a
2
= ~ ~ (-.!) (-~) (- 2n -1) (-a)n
2 L.J
2
2 · · ·
2
n!
n=O
= ~ 7r • 1·3 ... (2n - l)an.
L.J
2 · 2nn!
n=O
2n
1·3 ... 2n-1 7r
•
1
1r/2
(
)
On a donc In= 0
cos xdx =
2 . 4 ... 2 n
· 2' et aussi un rayon
de convergence égal à 1 pour la série puisque lim f(a) n'existe pas.
a--+1ll.
Le trinôme 1 + x + x 2 reste toujours positif donc f est définie sur R. On a
,
1 +2x
f (x) = 1
2 , donc pour x # 1,
+x+x
J'(x)= 1+2x = (1+2x)(l-x) = l+x-2x 2
1 - x 3
1 - x 3
1 - x 3
1-x