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Analyse fonctionnelle
1 1 11 1
soit en majorant
tndt par
tndt = - - :
to
o
n+l
1
f(l) 1
e
tn+l
lanl - - - ~ - - + 2llflloo- 0 -
n + 1
n+l
n+l
Or lim t 0 + 1 = 0 donc 3ni, Vn ~ni, 2llflloot 0 + 1 ~ e et finalement,
n-++oo
Vn ~ni. l lanl - !~)l I ~ n ~ 1 , ce qui prouve que lanl est équivalent à
f(l), donc la série des anxn admet 1 pour rayon de convergence, puisque
n
xn
anxn,..., J(l)-(-l)n pour x #O.
n
Soit z = ei 8 , on a anzn = (-l)n (fo
1 tn f(t)dt) zn, soit encore anzn =
(fo
1 tnf(t)dt) ei(6+11")n_
q
Pour (} + 7r # 0(27r), les sommes L ein(B+11") sont bornées par rapport
n=p
à p et q, comme f(t) ~ 0, n ~ fol tn f(t)dt décroit, vers 0, (c'est
équivalent à f(l)) : par le critère d'Abel la série converge pour z = ei 8
n
avec(} # -11" • (27r). Pour z = -1, anzn = f
1 tn J(t)dt ,..., f(l) : il y a
Jo
n
divergence.
Calcul de la somme
Pour lxl < 1, on a anxn = fol (-xt)n f(t)dt, avec, pour t E [0, 1]
1(-xtr f(t)I ~ lxlnllflloo : il y a convergence normale en t de la série de
fonctions vn(t) = (-xt)n f(t), (x paramètre fixé) donc on intègre« terme à
terme» et
~anxn =fol f(t) (~(-xt)n) dt= fol /1t~tdt.
10. Soit un(x) = an cos 2 nx, llunlloo = Iain donc pour lai < 1, il y a
convergence normale en x de la série des Un vers S ( x) = 1
1 2 •
-a cos x
Pour x fixé la série converge si et seulement si la cos 2 xl < 1, (par exemple,
six= i• il y a convergence pour lai < 4).