Séries entières
203
cett.e somme est supérieure à quelque chose d'équivalent à 2 ; . On peut donc
nier le critère de Cauchy.
0
. .
cha
1
n peut ausSI minorer
que fo par
1
7r
, et la somme par une
3 + 2k7r
"té
. al
à 1 8k7r 2
1
271")
quanti éqmv ent.e - · - - ·
"' -
2
3
( 2k7r + i) - 3 .
Finalement L c°:t1' diverge.
n~l
8.
Avec Un= anxn, pour x =F 0, on a
1
Un+l1 = (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)
n 2 n
!xi
Un
(n + 1)
(n + 1)2n+2
= 3 · (3n+1)(3n+2)
1
lxl
(n+1)2
(
1)2n
1+n
27
e 2
ce quit.end vers e 2 lxl donc le rayon de convergence est R = 27 .
2
2
Avec la formule de Stirling, six = ±~ 7 , (ou même si z = ~ 7 ei 8 ) on a
(3n)! e 2 n
!un 1 = n!n2n 33 n donc
e2n
e-3n(3n)3nv'61m
!uni,...,--.
=v'3
33nn2n
e-nnnv'2rn
donc !uni .- 0: il y a divergence aux bornes de l'int.ervalle de convergence,
(et sur le bord du disque dans le cas complexe).
9.
Ona
Soit e > 0, 3to E (0, 1( t.el que t E [to, 1] ~ l/(t) - /(1)1 ~ e d'où
llanl- !~)li~ e 1: tndt+2ll/lloo 1to tndt
203
cett.e somme est supérieure à quelque chose d'équivalent à 2 ; . On peut donc
nier le critère de Cauchy.
0
. .
cha
1
n peut ausSI minorer
que fo par
1
7r
, et la somme par une
3 + 2k7r
"té
. al
à 1 8k7r 2
1
271")
quanti éqmv ent.e - · - - ·
"' -
2
3
( 2k7r + i) - 3 .
Finalement L c°:t1' diverge.
n~l
8.
Avec Un= anxn, pour x =F 0, on a
1
Un+l1 = (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)
n 2 n
!xi
Un
(n + 1)
(n + 1)2n+2
= 3 · (3n+1)(3n+2)
1
lxl
(n+1)2
(
1)2n
1+n
27
e 2
ce quit.end vers e 2 lxl donc le rayon de convergence est R = 27 .
2
2
Avec la formule de Stirling, six = ±~ 7 , (ou même si z = ~ 7 ei 8 ) on a
(3n)! e 2 n
!un 1 = n!n2n 33 n donc
e2n
e-3n(3n)3nv'61m
!uni,...,--.
=v'3
33nn2n
e-nnnv'2rn
donc !uni .- 0: il y a divergence aux bornes de l'int.ervalle de convergence,
(et sur le bord du disque dans le cas complexe).
9.
Ona
Soit e > 0, 3to E (0, 1( t.el que t E [to, 1] ~ l/(t) - /(1)1 ~ e d'où
llanl- !~)li~ e 1: tndt+2ll/lloo 1to tndt