202
Analyse fonctionnelle
7.
et
p-1
II c1+c2k+1) 2 )
k=O
a2p+l = --..,.( 2 -p-+-l),_!-avec ao = ai = 1.
Comme lim ak+ 2 = 1, les deux séries des a2px 2 P et des a2p+1x 2 P+l
k-++oo ak
ont 1 pour rayon de convergence, mais de plus, pour lxl > 1, lim lanxnl
n-++oo
= +oo, (cas de divergence dans le critère de d'Alembert), donc le rayon de
convergence de la série est 1.
.
cos..;n
lxln
Soit Un = Vn xn, pour lxl < 1, lunl ~ Vn ~ lxln (n ~ 1) donc la
série converge (absolument).
Si lxl > 1, lim lx); = +oo, or il existe des n arbitrairement grands tels
n-++oo yn
que cos ..;n ~ ~ car ceci équivaut à avoir -i + 2k7r ~ Vn ~ i + 2k11',
avec k arbitrairement grand. Pour k ~ 1, c'est encore équivalent à
2 2
4k11' 2
71' 2
2 2
4k11' 2
71' 2
4k 11' - - 3 -+ 9 ~n~4k 11' + - 3 -+9
2
et les nombres extrêmes différant de Bk~ , il y en a de tels entiers!
lxnl cos Vn
.
Donc
Vn
ne tend pas vers 0 s1 lxl > 1 : le rayon de convergence
est 1.
Etude pour x = R = 1. On considère la série des c~ = vn. Nous venons
de voir qu'il y a environ Sk;
2 entiers n tels que 2k11'- i ~ Vn ~ i + 2k11',
1
donc pour lesquels cos Vn ~ 2.
La somme des Vn pour ces n est donc supérieure à ~ · L )n et comme la
k ...
fonction x ~ ..)x décroit, cette somme est de l'ordre de grandeur de
114k211'2+~+~2 dx [ ] (2k11'+J)2 ((
11')
(
11'))
-
-
= ./X
=
2k11' + - - 2k11' - -
2 4k211'2-~+~2 ...;X
(2k11'-J)2
3
3
211'
3