Séries entières
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Terme constant : ai = 1;
(p
)
ap-i
terme de degré p:
+ 1 ap+i + ap-i = 0 donc ap+i = - - - 1 .
p+
On a aussi ao = g(O) = 0, d'où les a2p nuls et l'égalité
(-l)P
a 2 p+i = 1·3 · 5 ... (2p + 1)"
a2p+i
1
.
Comme - - = - -
2
1 , le rayon de convergence de cette séne est +oo,
a2p-i
p +
la fonction somme est une solution de l'équation différentielle, elle vaut 0 en
0: c'est donc g(x) d'où
oo
(-l)Px2p+i
g(x) = 2::: 1-3·5 ... (2p+1)
p=O
6.
On va encore passer par une équation différentielle.
Si f(x) =exp (Arcsinx), pour x E] - 1, l[, on a f dérivable et
f'(x) =
f(x) d'où f"(x) = J'(x) +
xf(x)
soit
y'1 _ x2
y'1 _ x2
(1 _ x2)3/2
f" (x) = f (x ) 2 + ~ 2 f' (x ), donc f vérifie l'équation différentielle
1-x
1-x
(1-x 2 )f 11 (x) -xf'(x) - f(x) = 0
avec f(O) = 1 et f'(O) = 1. On cherche f(x) sous la forme
OO
f(x) = L anxn, d'où:
n=O
OO
OO
OO
OO
L n(n - l)anxn- 2 - L n(n - l)anxn - L nanxn - L anxn =O.
n=2
n=2
n=i
n=O
Terme constant: 2a2 - ao = 0 d'où a2 = ~, (ao = 1);
degré 1: 6a3 - ai - ai = 0: d'où a3 = ~,(ai = 1);
degré k: (k + 2)(k + l)ak+2 - k(k - l)ak - kak - ak = 0 d'où
k 2 +1
ak+2 = (k + l)(k + 2) ak.
On obtient donc les relations
p-i
II (1 +4k 2 )
k=O
a2p =
( 2 p)!