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Analyse fonctionnelle
l'infini, on trouve xo E]O, 1[ tel que x E]xo, 1[ implique
g(x)
1 - 2c ~ f(x) ~ 1 + 2c
donc f(x) "'g(x) quand x tend vers 1-.
4.
Ona
5.
f(x) = ~(eix + e-i:z:)(ex + e-x)
= ~(e(l+i)x + e(-Hl)x + e(i-l)x + e-(Hl)x)
4
+oo
= L 4
1
1 ((1 + i)n + (1 - i)n + (i - l)n + (-i - l)n)xn
n.
n=O
et comme 1 + i = ../2é 1 r:f 4 , 1 - i = ../2e-i1r/ 4 , i - 1 = -../2e-i'f,
-1 - i = -..J2ei1r/ 4 , il vient:
- ~ 1 p
(
7f) 2p
-L....,, 4 ( 2 p)!2 ·2·2 cosp 2 x
p=O
il ne reste que les p pairs, donc avec p = 2k, on a
OO
( )
~ 1 2k( )k 4k
f X = L....,, ( 4 k)!2 -1 X •
k=O
r t2
Posons f ( x) = J 0 e T dt. La fonction f est dérivable de dérivée
2
_.,2
f'(x) =ex 1 2 . Donc g définie par g(x) = e---r f(x) est telle que
.,2
.,2
g 1 (x) = -xe-2 f(x) + e-2 J'(x) = -xg(x) + 1
la fonction g est la solution de l'équation différentielle g'(x) + xg(x) = 1
valant 0 si x = O.
OO
On cherche g(x) sous la forme L anxn d'où l'égalité:
n=O
OO
+oo
~
n-1
~
n+l
l
L....,,nanx
+ L....,,anx =
n=l
n=O