Séries entières
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n
avec n.!!~oo Un = u, donc II ( 1 + ~) !::= n"'e" et Wn !::= e"~"' d'où
k=l
convergence en z = 1 {::} a > 1.
Si a> 1, il y a convergence absolue pour lzl = 1 car alors lwnznl ,...., - 1 -.
e"n"'
Le recours au critère d'Abel n'a d'intérêt que pour a E]O, l].
3. Sur (0, 1 (,les anxn étant des fonctions croissantes de x, (an ~ 0) la fonction
f est croissante.
N
Si lim f(x) = l existait, pour N fixé et x E (0, 1( on aurait L anxn ~
x-+1n=O
N
f(x) ~ l, d'où Lan ~ l, (en passant à la limite quand x tend vers 1) mais
n=O
alors la série des an convergerait. C'est absurde, donc lim f(x) = +oo.
X-+1Pour x # 0, lanxnl ,...., lbnxnl donc les rayons de convergence des séries
sont égaux, ~ 1. Rien dans le texte ne justifie que ce rayon soit 1. Mais pour
traiter la suite on le suppose, sinon f et g ne sont pas définies pour x proche
de 1.
Si donc R = 1, comme an ,...., bn on sait déjà que L bn ~verge, donc
que lim g(x) = +6o aussi. Puis, île < 0, 3no E N, î/n ~ no,
x-+1-E:an ~ bn - an ~ ean, d'où en multipliant par xn > 0 et en sommant à
partir de no+ 1, en notant Sn(!) et Sn(g) les sommes partielles des séries
entières:
·
-e(J(x) - Sn 0 (J)(x)) ~ g(x) - Sn 0 (g)(x) - f(x) + Sn 0 (J)(x)
~ e(J(x) - Sn 0 (J)(x))
soit encore
(1- e)(J(x) - Sn 0 (J)(x)) + Sn 0 (g)(x) ~ g(x)
~ (1 + e)(J(x) - Sn 0 (J)(x)) + Sn 0 (g)(x)
On divise par f(x), (qui devient> 0 pour x proche de 1 car
lim f(x) = +oo); il vient
X-+1(l _ e) (l _ Sn0 (J)(x)) + Sn0 (g)(x)
f (x)
f (x)
~ g(x) ~ (l + e) (l _ Sn0 (J)(x)) + Sn0 (g)(x)
f(x)
f(x)
f(x)
et comme le minorant tend vers 1 - ê et la majorant vers 1 + e puisque
no
Sn 0 (g)(x) ~ L bn est borné ainsi que Sn 0 (J)(x) et que f(x) tend vers
n=O