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Analyse fonctionnelle
! '( )
1 !"( )
-1
"'( )
2
Or
x = l+x'
x = (l+x)2 et/ x = (l+x)3"
Si on pose
on obtient
or la série des : 2 converge, celle des 1 :; 1 aussi puisque 1 :; 1 ~ : 3 ,
et n.!!~oo (t ~ -Inn) existe, (constante d'Euler) donc la suite (un)
k=l
converge.
n!
n
..J.
1wn+11
Posons Wn = ( l) (
) z , pour z 1 0, on a - - =
a+ ... a+n
Wn
n + 1 1 izl qui tend vers lzl, donc le rayon de convergence est 1. De plus,
a+n+
n!
f3n+i
n + 1
avec f3n = ( l) (
) on a --a- =
1 < 1, (car a> 0):
a+ ... a+n
JJn
a+n+
n
les f3n décroissent, puis f3n = II ( 1
0 ) .
k=l 1 + k
Or n.!!~oo (t ln ( 1 + ~) - a ln n) existe,
k=l
n
donc n.!!~oo L ln ( 1 + ~) = +oo, (équivalent à a ln n) donc le produit
k=l
des ( 1 + ~), diverge vers +oo, d'où la suite des f3n tend vers 0 en
décroissant. Avec z = ei 9 , on a Wn = f3nein 9 qui converge si() =F 0(211"),
(crit.ère d'Abel), et si()= 0(211"), Wn = f3n = n
l
II(1+~)
k=l
Mais
n
n
L ln(l+~)
II ( 1 + ~) = ek=l
= eun+a Inn= n°'eun
k=l