Séries entières
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SOLUTIONS
1. Avec Un = nPzn, pour z =f. 0, 1 u:: 1 1 = (n ~ 1 )P lzl tend vers lzl sin
tend vers l'infini, donc R = 1, et, pour lzl = 1, lunl --+ +oo: le domaine de
convergence est le disque ouvert de rayon 1.
+oo
+oo
En fait Sp(x) = L npxn = L npxn se calcule. Pour p = 1, partant de
n=O
n=l
OO
S(x) = Lxn, en dérivant et en multipliant par x on a S1(x) = xS'(x),
n=O
soit encore= x (i ~ x )'donc S1(x) = (l ~ x) 2 ·
Ona
+oo
+oo
xS~(x) = x L np+lxn-l = L nP+lxn
n=l
n=l
d'où xS~(x) = Sp+1(x).
Donc
(
1
2x
)
2x 2 + x(l - x)
82 (x) = x · (1 - x)2 + (1 - x)3 = (1 - x)3
d'où S2(x) ~ (l ~ x) 3 en 1-, et S1(x) ~ (l ~ x) 2 en 1-.
Qp(x)
•
On suppose, par récurrence, que Sp ( x) = ( 1 _ x )P+ 1 avec Qp ( x) polynome
tel que Qp(l) = p!.
Alors
(
Q~
(p+l)Qp(x))
Sp+l(x) = x (1- x)P+l + (1 - x)P+2
x(p + l)Qp(x) + x(l - x)Q~
=
(1-x)P+2
est bien du type voulu et Qp+1.(x) = x(p + l)Qp(x) + x(l - x)Q~(x) est
1
bien un polynôme tel que Qp+1(l) = (p+ 1)! Donc Sp(x) ~ (l -~)P+l"
2.
Par Taylor Lagrange à l'ordre 2 entre 0 et η pour la fonction
f: x "V't ln (1 + x), on a ()k dans ]O, 1[ tel que
2
3
ln ( 1 + î) = f(O) + îf' (O) + ~ 2 /"(0) + ; 3 / 3 > (ek · î)