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Analyse fonctionnelle
Etude du domaine de convergence de la série entière des
cosn
n
r,;;
X •
v••+cosn
Soit S la somme de la série des un(x) = xn ( 1 + ;) n. Ensemble
de convergence? Montrer que S est de classe C 00 , développable en
série entière en O. Donner ce développement.
(-l)nx2n
Soit la série L 22 n(n!) 2 . Etude de la convergence. Soit f(x) sa
n~O
r+oo
somme. Existence et calcul de Jo
e-st f(t)dt.
OO
Soit f(z) = L anzn une série entière telle que lim a 2 n+l =li
n=O
n-++oo a2n
et lim a 2 n+ 2 = l2 avec li et l2 dans IR+. Que dire du rayon de
n-++oo a2n+ 1
convergence de la série.
Deux suites (Un) et ( Vn) vérifient les relations de récurrence
Un+I =Un - 2vn et Vn+I = Un + Vn.
OO
Déterminer la somme des séries entières f(x) = L u~ xn et
n=O n.
OO
g(x) = L v~xn.
0 n.
n=
20. Continuité et développement en série entière de
f(x) = lo+oo ét
2 cos (tx)dt.
21. On définit une suite complexe ( un)nEN par uo = 0, u1 = 1
et Un+I = aun + /3Un-I. (a,/3) E c 2 . Déterminer le rayon de
convergence de la série des UnZn et la fonction somme.