Séries entières
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7. Déterminer le rayon de convergence, R, de la série entière
00 cosy'n
L y'n xn. Etude pour x = R.
n=l
8. Rayon de convergence de la série entière L anxn où an = ~~:1!.
Etude aux bornes de l'intervalle de convergence.
9. Soit f E C 0 ([0, 1], R), positive, avec f(l) =f:. O. On pose
f 1
OO
an= (-l)n Jo tnf(t)dt. Etude de la série entière L anxn.
0
n=O
Calcul de la somme.
10. Etudier la convergence et calculer la somme de la série des
(an cos 2 nx)n;;i:O·
1
7r/2
dx
Développer en série entière f (a) =
2 • En déduire
o
1-acos x
r12
la valeur de Jo
cos 2 nxdx.
ll. Développer en série entière autour de 0 la fonction
f(x) =Log (1 + x + x 2 ).
OO
12. Résoudre L (3n + 1 ) 2 xn = O.
n=O
13. Rayon de convergence et domaine de convergence de
Valeur de la somme en -1.
{1 (-l)E(~)dx (1)
Convergence et calcul de Jo
x
, E x
1
partie entière de - .
X
désignant la
14. Rayon de convergence de la série L a 2 ) z 1 + 2 + ... +n, avec a > 0
n;l!:l
donné.