194 Analyse fonctionnelle
r+ 00 sinx 7r
donc lo x d x = 2·
Ces quelques exemples montrent l'intérêt de cette théorie, mais ce
bref exposé n'est qu'une porte entre-ouverte! Il y a encore beaucoup à
faire dans l'étude des fonctions de variable complexe à valeurs complexes.
EXERCICES
1. Soit p un entier ;;?; 1. Déterminer le rayon de convergence de
OO
L nP zn et donner un équivalent de la somme en 1-.
n=O
n
2. Soit a E JR*+. On pose Vn = ln ( 1 + ~) et Un = L Vk - a ln n.
k=l
Montrer que la suite {Un) converge.
Domaine de convergence de la série entière des (
1 ) n! (
) zn.
a+ ... a+n
OO
3. Soit f : R 1--t R développable en série entière, f ( x) = L anxn,
4.
5.
6.
+oo
avec an ;;?; 0, et L an divergente.
n=O
n=O
Que dire de lim f(x)? Soit une suite {bn)nEN de nombres ;;?; 0
x-+1avec an "' bn à l'infini. Rayon de convergence de la série entière
OO
g(x) = L bnxn. Montrer que f(x) "'g(x) au voisinage de 1.
n=O
Développer f ( x) = cos x ch x en série entière.
.,2 rx t2
Développer en série entière la fonction x...,.. e-2 Jo e2 dt.
Développer en série entière la fonction exp {Arcsinx).