Séries entières
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{ f(z)dz = r eiR(cos9:-i sin9) iRei9d(} = i r eiR(cos9+i sin9)d(}
lrR
lo
Rei 9
lo
donc
1
{
f(z)dzl :i::; r e-R sin9d(} :i::; fa ld0+111"-a e-R sinodO+ {11" l·dO
lrR
lo
lo
a
111"-a
si on fixe a dans] 0, ~[.On a donc encore llrR f(z)dzl :i::; 2a+7re-R sino.
Comme lim e-R sino = 0, (a> 0 fixé, a< ~ 2 ), on a pour R assez
R-++oo
grand, 1 f f(z)dzl :i::; 3a, avec a arbitraire d'où lim f f(z)dz =O.
lrR ·
R-++oo lrR
Il reste à considérer 1 f(z)dz.
îe
eiz
1
Or - est« équivalent» à - si z tend vers 0, et un procédé pratique en
z
z
analyse, est d'ajouter et de retrancher l'équivalent car on travaille d'une
part sur l'équivalent, plus simple, et d'autre part sur quelque chose de
«plus petit», on peut espérer s'en tirer.
Ici cela donne
et
eiz - 1
1
f(z) = - - + -
z
z
h(z) = eiz - 1 = ~ (i)nzn-1
z
~
n!
n=l
est holomorphe sur C, donc lim zh(z) = 0, d'où lim 1 h(z)dz =O.
z-+0
e-+O 'Ye
1
dz 10 E:ei9
On a
- =
i---=ed(} = -i7r, (attention au sens de parcours sur
'Ye z
71"
cei
'Ye = { cei 9 , (} « entre » 7r et 0} ), d'où finalement, en passant à la limite
(c -+ 0 et R -+ +oo)
lo
+oo .
2 .
smxd
.
0
i
- - x-i7r=
0
X