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Analyse fonctionnelle
l a
+oo sinx
EXEMPLE 13.91. - Calculer I =
--dx. L'intégrale converge,
0
X
. sinx
(hm --. = 1, et on applique la deuxième formule de la moyenne en
x-+0 X
+oo par exemple, voir tome 2, exemple 9.18).
iz
La fonction f : z ~ .:__ admet 0 pour seul pôle simple. Il nous faut un
z
contour ne passant pas par 0, (on tourne autour: il faut éviter l'obstacle).
R
On n'a pas de point singulier dans n donc { f(z)dz = 0, soit
lan
{R cosx + i sinx dx + { f(z)dz + 1-e cosx + i sinx dx
le
X
lrR
-R
X
+ 1 f(z)dz =O.
' "Ye
On-a
1
-e cosx + i sinx dx = r cosx - i sinx dx, (x ""+ -x)
-R
X
lR
X
= [R -cosx + i sinx dx
le
X
·1R sinx Ir
1
donc 2i
- d x +
f(z)dz + f(z)dz =O.
e
X
rR
' "Ye