Séries entières 191
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indirect), avec r:: < 1 < R. On a un seul pôle, -1, dans 0, donc
r f(z)dz=2i11"Res(f,-1)=2i11"·d.
:d (1 )
Jan
énvée en -
e zo: + z
2i71"
= (ei'll")o:
Puis r f(z)dz est égale à :
lan
1
R
dx
r
r dx
1 ·
e xo:(l + x) + JrR f(z)dz + JR e2i11"o:xo:(1 + x) - 'Ye f(z)dz
car lorsqu'on parcourt le segment [R, r::], l'argument de z a augmenté de
211", donc z = xe 2 i11" avec x >O.
On a lim lz/(z)I = 0 et lim lz/(z)I = 0, ceci permet de dire que
lzl---+O
lzl---++oo
lim 1 f(z) = 0 et lim { f(z) =O. Pour lzl -+ +oo, c'est déjà vu,
e---+0 'Ye
R---++oo JrR
et pour lzl -+ 0, on a de même, VTJ > 0, 3r::o > 0, lzl < r::o =? l/(z)I < 1
; 1
•
si on paramètre 1 f(z)dz, avec z = r::eit, pour r:: < r::o, on a
'Ye
l.l., f(z)dzl = lfo211" f(r::eit)ir::eitdtl
~ fo
2
11" lf(r::eit)lr::dt
avec l/(eeit)I < ~ d'où l.l,, f(z)dzl ~ fo
2
11" ~r::dt = 211"TJ avec T/
arbitrairement petit.
Finalement, si r:: -+ 0 et R -+ +oo, on obtient à la limite :
(1 - e- 2 i11"o:)J = 2i7l"e-i'll"o: = e-i'll"o:(ei'll"o: - e-i'll"o:)J
d'où 2i(sin 7ro:)J = 2i71" et I = ~.
Slll71"0:
Il est évident que si on connait toutes les « ficelles du métier » qui
permettent de traiter rapidement les limites, on dispose d'un outil de
calcul puissant.