a
Séries entières
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•
l,
-~
t~
~ c
6
e •
•. e
0
~
::t.
-R
u
Quand f est un quotient - avec Zj zéro simple de v, (et non de u), on
V
a_1 = lim
u(z)
= u(zj)
z-+z; v(z) -v(zj)
v'(zj)
Z-Zj
sous réserve de continuité de u et de dérivabilité de v.
Ici, avec u = 1 et v(z) = 1 + z 6 , cela donne
1
z·
z·
Res(/,zj) = 5 = ---2a = _ _}_
6zj
6zj
6
car zJ = -1, donc
1_: 1 :x 6 + kR f(z)dz = 2i7r (-~) (ei1f + é~ + e 5 ~)
Il faut se débarrasser de f f(z)dz. Or lim lz/(z)I = 0, donc
JrR
lzl-++oo
Ve> 0, 3Ro; lzl ; ; ; . : Ro => l/(z)I ~ l:I' mais alors si R;;;.: Ro,
llrR f(z)dzl ~ lrR lf(z)dzl ~ 7rR · ~ = 7rc