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Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 13.88. - Soit n un compact de C limité par des arcs de courbe
de classe C1, tel que f soit holomorphe sur f2 - {z1, ... , zk}, les Zj étant
0
h
k
dans n. On a
f(z)dz = 2i7r L résidu (!, Zj)·
an
i=l
Les Zj étant intérieurs à f2, on peut trouver é > Ü tel que chaque
0
disque D j = { z, iz - Zj 1 ~ é} soit dans n, les Dj étant 2 à 2 disjoints.
On note 'Yj le cercle de centre Zj de rayon c orienté dans le sens direct.
Sur D = n - (û Dj), f est holomorphe, donc l n f(z)dz = 0,
j=l
8D
(Théorème 13.69), or ô'D = an - ( 0 ' Yj) , donc
J=l
Or 1. ( z ~ ?. )O dz est le coefficient de z ~ z. dans le développement
~
.J
J
en série de Laurent de f en Zj, (voir 13.82 avec n = -1d'oùn+1 = 0),
c'est-à-dire le résidu de f en Zj : on a bien le résultat.
•
Si on connait les résidus, on connait l'intégrale. Voici des exemples.
l
+oo dx
EXEMPLE 13.89. - Calculer l =
- - 6 .
0
l+x
La fonction : z ~ ~ est méromorphe sur C, elle a six pôles
l+z
•
'
i1!:+2k?r
sunples, (dordre 1) les Zk = e s s , k = 1, ... , 6.
Soit n le demi-disque de centre 0, rayon R > 1, situé dans le demio
plan lm z > 0, on a trois pôles, z1, z2 et Z3 dans n. Or, en Zj pôle simple
de f, le développement de Laurent va être du type f(z) = a-l +série
Z - Zj
entière en z - Zj donc
a_1 = lim (z - Zj)f(z) = lim f~z)
z-+z;
z-+z;
Z - Zj