Séries entières
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Il en résulte qu'en définissant, pour r dans ]p2, Pl [ et n dans l, les an
par:
13.82.
an= 2 ~7r ir {n~~ dt,
("fr cercle de centre 0 de rayon r > 0, orknté dans le sens direct), les an
ne dépendent pas de r, et pour f holomorphe à l'intérieur de la couronne
Cp 1 ,p 2 , on a l'égalité
13.83.
puisqu'il est possible de trouver r1, r2 avec P2 < r2 < Jz 1 < r1 < Pl, et
d'appliquer le calcul précédent, en utilisant 13.81 et 13.81 dans 13. 79. •
DÉFINITION 13.84. - On dit que zo est un point singulier isolé de la fonction
f défink sur un voisinage V de zo privé de zo, si f ne peut pas se prolonger
en une fonction holomorphe sur V.
En faisant une translation ( Z = z - zo) dans le théorème 13. 77 on
s'aperçoit que pour f holomorphe sur V - {zo}, (V voisinage de zo) on
aura zo point singulier isolé si et seulement si tous les an. pour n < 0,
du développement de Laurent de f ne sont pas nuls.
13.85. Il y aura alors deux cas de figure :
Soit card { n; n < 0, an =/:- 0} est infini, et dans ce cas zo est dit point
singulier essentiel ;
soit 3n < O. avec an =/:- 0 et, î/k < n, ak = 0 et alors zo est dit pôle
d'ordre -n de f.
On peut donc remarquer que, pour f holomorphe sur V - { zo}, on
a.zo pôle· d'ordre k, (k E N*) si et seulement si lim Jf(z)J = +oo et
Z--+ZO
lim (z - zo)k f(z) existe, en étant non nulle.
Z--+ZO
DÉFINITION 13.86. - Soit f holomorphe sur une couronne Cp 1 ,P2(zo) =
{z; 0 < P2 < Jz - zol < pi}, on appelle résidu de f en zo le coefficient
1
a-1 de - - du développement de f en série de Laurent en zo.
z-zo
DÉFINITION 13.87. - On appelle fonction méromorphe sur un ouvert n
de c une fonction holomorphe sur n' = n - p avec p ensemble discret
d'éléments de n qui sont des pôles pour f.