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Analyse fonctionnelle
avec une convergence normale en(} E [O, 271"] de la série des (~(J)n
r1e'
car 1~1 = M < 1. La fonction t - f ( t) étant bornée sur le cercle
r1e'
r1
t
'Yi. (continue) on conserve une convergence normale en(} de la série des
f(t)zn
tn+l , on peut donc intégrer terme à terme, donc
13.80.
_1 1 j(t) dt= ~ (-1 1 j(t) dt) Zn
2 .
t
L.,, 2·
tn+l
·
i71" 1'1 - Z
n=O
i71" 1'1
De même, sur 'Y2· on a ltl = r2 < lzl donc 1r 2 ;i(J1
écrivant J(t) sous la forme
t-z
f(t) __ f(t) . _1 ___ ~ J(t)tn
t - z -
z
t -
L.,, zn+l
1-n=O
z
r2
îZÏ < 1 : en
on a une convergence uniforme en(}, (convergence normale de la série),
donc
Si on pose -n - 1 = n 1 , n' variant de -1 à -oo, c'est encore avec
t-n = tn'+l:
13.81.
Or sir et r' sont deux réels vérifiant fJ2 < r < r' < Pl, sur la couronne
Cr' r• la fonction t - J(+t)l étant holomorphe, (ici n est fixé dans l), on
'
tn
a,' (théorème 13.69),