Séries entières 185
Pour tout z intérieur à la couronne Cr 1 ,r 2 on a
f(z) = - 2 ~ {
f(t) dt, car si on entoure z d'un petit disque de
i7r lac
t - z
v r1,r2
centre z et de rayon ê, Dz,e, avec ê assez petit pour que ce disque soit
0
dans Crin• sur le domaine D = Cr 1 ,r 2 \Dz,e la fonction
cp: t -v+ f(t) est holomorphe et f cp(t)dt = 0, (Théorème 13.69).
t-z
laD
Mais en notant ')'1, î'2 et î'e les cercles orientés dans le sens direct,
respectivement de centre 0 de rayon r1, r2 et de centre z de l'.ayon ê, on
a 8D = î'l - î'2 - î'e, donc
1 cp(t)dt -1 cp(t)dt =la cp(t)dt = 1 :~t~ dt
1'1
1'2
8Cr1, r2
1'e
et la dernière intégrale vaut 2i7r/(z), (Théorème 13.71). On a donc
13.79.
f(z) = ~ 1 f(t) dt - ~ 1 f(t) dt.
2m .,, 1 t - z
2i7r .,, 2 t - z
Sur î'l· t = r1ei 9 est tel que JtJ > Jzl, on peut écrire