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Analyse fonctionnelle
1 1271" .
.
soit an = - 2 -
e-mt f (reit)dt, d'où, comme 11/I loo existe sur le
71'Tn 0
plan, la majoration lanl ~ 2 ~1/lloo = 11/lloo valable pour tout r > lzl :
71'Tn
rn
c'est que pour n;;;;: 1 on a lanl = 0, (on fait tendre r vers l'infini). Il reste
f(z) = ao : elle est constante.
•
COROLLAIRE 13. 75. - (Théorème de d'Alembert). Tout polynôme P de degré
n ;;;;: 1 à coefficrents complexes a des racines dans C.
Car P est dérivable de dérivée continue sur C donc si P ne s'annule
1
pas sur C, la fonction f: z -v+ P(z) est holomorphe de dérivée continue,
or si lzl tend vers +oo, lim f(z) = 0, (si P(z) = anzn + an-lZn-l +
JzJ=+oo
1
... +ao, f(z) ~ - - si lzl - t +oo) donc f est bornée sur C, (soit ê = 1,
anzn
3r, lzl ; ; ; ; : r => l/(z)I ~ 1 puis f continue sur le disque de centre 0 de
rayon r, compact, y est bornée). Mais alors f serait constante (théorème
de Liouville) donc P aussi ce qui contredit d 0 P ;;;;: 1.
•
COROLLAIRE 13.76. - Le corps C est algébriquement clos.
Car si P E C[X] est de degré n ;;;;: 1, P a un zéro z1 dans C, il existe
Qi tel que P(z) = (z-z1)Q1(z), avec d°Q1 = d 0 P-1. Si d 0 Q1 ~ 1, on
a encore Qi admet un zéro z2, d'où P(z) = (z - z1)(z - z2)Q2(z) et on
continue ainsi, d'où finalement n zéros distincts ou non pour P de degré
n.
•
Pour terminer cette (trop) brève incursion dans le domaine des fonctions de variable complexe, disons un mot des fonctions méromorphes et
du calcul des résidus.
THÉORÈME 13.77. - Soit une fonction holomorphe, (de dérivée continue)
sur la couronne Cp 1 ,p 2 = {z, 0 < P2 < lzl < pi}. Il existe des (an)nEZ
tels que J(z) = I: anzn.
nEZ
13. 78. On dit que f est développée en sérre de Laurent.
On introduit les réels ri, r2, vérifiant:
0 < P2 < r2 < r1 < Pl.