Séries entières
183
avec, sur -y, Jt(z) (;a__~~2: 1 1 ~ 11/lloo k;, 11/lloo étant prise sur le
compact D.
Cette convergence normale justifie une. intégration terme à terme,
(Théorème 12.31), donc
~ ( 1 1 f(z) ) n
f(a) = ~ 2 i7r 'Y (z _ b)n+l dz (a - b)
ce. qui prouve qu'en posant
13.73.
1 1 f(z)
an = 2i7r 'Y (z - b)n+l dz,
on obtient une série entière convergente pour a tel que la-bl < r (r rayon
de -y): la fonction f est développable en série entière centrée en b.
Comme en fait, pour tout b de l'ouvert n, il existe un r > 0 tel que
le disque fermé de centre b de rayon r soit contenu dans n, on aura f
développable en série entière en chaque b den.
•
Les formules 13. 73 donnant an sous forme d'intégrale sont très utiles;
ce sont les formules de Cauchy.
En toute rigueur, l'hypothèse f 1 continue est en trop, mais la justification des résultats est alors plus délicate. Comme mon propos était de
montrer la différence de difficulté entre cas réel et cas complexe, je n'ai
pas de scrupule à l'avoir introduite.
Il y a une théorie très riche derrière tout cela : fonctions méromorphes,
calculs des résidus, séries de Laurent ... mais il faut savoir s'arrêter. Pas
cependant sans retrouver le théorème de d'Alembert. D'abord on a
THÉORÈME 13.74. (de Liouville)- Si f est holomorphe sur le plan, bornée,
elle est constante.
Je supposerai en fait f dérivable de dérivée continue pour ne pas
tricher et n'utiliser que ce que j'ai justifié.
OO
En effet, soit z E C, r > 0 tel que lzl < r, on a /(z) = L anzn, avec
n=O
1 1 f('T)
(voir 13.73), an = 2 i7r
Tn+l d'T, où "fr est le cercle de rayon r, centré
'Yr
en 0, donc paramétré par 'T = rét pour t E [O, 211"], d'où
1 {27r f(reit) . it
an = 2i7r Jo (reit)n+l ire dt